Отдыхающим летом на побережье в Джерси знакомы развалины старой башни Бэкон, служившей некогда маяком. Вы видите здесь реконструкцию этой башни, сделанную на основе старинного рисунка полувековой давности, который сохранился у одного местного жителя (ему самому пошел уже девяносто шестой год). Он помнит, как строилась эта башня, когда он был мальчиком. Все графство было взбудоражено этим событием, и вряд ли кто из окрестных жителей сомневался в том, что библейская Вавилонская башня была не выше ее.

Теперь от башни Бэкон ничего не осталось, кроме обгорелого столба примерно шестидесяти футов высотой, ступеньки разрушились при пожаре около двадцати лет назад. Но рисунок, равно как и хроники графства, подтверждают, что первоначально высота башни составляла 300 футов.

Тогда это была весьма внушительная высота. Ведь более века мерилом недосягаемой высоты был шпиль у Тринити Черч. Но времена изменились, и совсем недавно почтенный служащий церкви Тринити жаловался, что ребята из соседнего дома норовят бросать вниз на церковный шпиль камешки.

Основу башни Бэкон составляли массивные столбы, искусно соединенные в одну колонну, которую спиралью обвивала винтовая лестница с железными перилами. Лестница делала вокруг колонны ровно четыре оборота, как показано на рисунке. На каждой ступеньке имелся поддерживавший перила стержень. Поскольку эти стержни отстояли друг от друга ровно на 1 фут, то нетрудно было подсчитать, сколько ступенек придется преодолеть на пути к вершине башни. И все же, как сказал капитан Хафф, владелец рисунка, поведавший нам историю башни:

– Я не встречал ни одного горожанина, который смог бы правильно подсчитать число ступенек.

Итак, башня от земли до верхней площадки, образовывавшей последнюю ступеньку, имела 300 футов. Лестница обвивалась вокруг башни четыре раза, а поддерживавшие перила стержни имелись на каждой ступеньке и отстояли друг от друга ровно на 1 фут. К этому мы должны добавить, что диаметр всей башни (то есть диаметр воображаемого цилиндра, на котором располагались перила) равнялся 23 футам 10 ¹/₂ дюйма. Сколько ступенек было у винтовой лестницы?

ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ

Если вы проведете диагональ у прямоугольного листа бумаги, а затем свернете из этого листа цилиндр, то диагональ превратится в спираль, обвивающую цилиндр. Другими словами, спираль, обвивающую колонну, можно рассматривать как гипотенузу некоего прямоугольного треугольника. В данном случае это треугольник, который четыре раза оборачивается вокруг колонны. Основание этого треугольника в 4 раза больше длины окружности цилиндра (или в 4π раз больше его диаметра), что, как можно подсчитать, превышает 300 футов на пренебрежимо малую величину. Но этой же величине равна и высота башни, что является просто совпадением, поскольку высота вовсе на участвует в решении данной задачи.

Нам не нужно также исследовать длину лестницы. Ибо если стержни отстоят друг от друга на расстояние в 1 фут, когда мы измеряем его вдоль основание прямоугольного треугольника, то на такое же расстояние они будут отстоять друг от друга и вдоль гипотенузы, какую бы длину она ни имела. Поскольку основание нашего прямоугольного треугольника имеет в длину 300 футов, то у винтовой лестницы 300 ступенек.