Старые обитатели страны головоломок, наверное, помнят, как в начале семидесятых годов я свел с ума весь мир маленькой коробочкой, заполненной небольшими кубиками, которая называлась игрой в 14–15. Пятнадцать перенумерованных кубиков лежали в квадратной коробке в правильном порядке, за исключением кубиков с номерами 14 и 15, которые поменялись местами, как показано на рисунке. Головоломка состоит в том, чтобы, передвигая по очереди по одному кубику, добиться того, чтобы номера 14 и 15 поменялись местами и чтобы все кубики лежали по порядку, причем после всех перестановок правый нижний угол должен остаться свободным, как в начале игры.

Приз в 1000 долларов, предлагавшийся за первое правильное решение, никогда никому не был присужден, хотя тысячи людей утверждали, будто они решили задачу.

Люди буквально помешались на этой головоломке. Из уст в уста передавались удивительные рассказы о лавочнике, забывшем открыть свой магазинчик, об одном почтенном священнике, простоявшем под уличным фонарем долгую зимнюю ночь в надежде вспомнить, как ему удалось решить задачу. Таинственная особенность данной головоломки состоит в том, что, видимо, никто не в состоянии вспомнить последовательность ходов, тогда как многие совершенно уверены, что они добились успеха. Говорят, лоцманы сажали свои корабли на рифы, а паровозные машинисты проносились мимо станций. Один известный издатель из Балтимора отправился в полдень на ленч и лишь после полуночи был обнаружен сбившимися с ног и отчаявшимися сотрудниками газеты сидящим за столом и гоняющим по подносу маленькие кусочки пирога! Да что там, фермеры забывали о своем плуге! Подобную ситуацию вы видите на рисунке.

Несколько новых задач, представляющих собой дальнейшее развитие этой головоломки, стоят того, чтобы над ними подумать.

Вторая задача. Начиная с расположения, указанного на картинке, передвиньте кубики так, чтобы они расположились в правильном порядке, причем пустой квадратик должен оказаться в левом верхнем, а не в правом нижнем углу:

Третья задача. Начиная с того же расположения кубиков, что и в предыдущем случае, поверните коробочку на четверть оборота и передвиньте кубики так, чтобы они расположились следующим образом:

Четвертая задача. Начиная с прежнего расположения, передвиньте кубики так, чтобы они образовали «магический квадрат», у которого сумма чисел вдоль каждой вертикали, горизонтали и каждой из двух диагоналей равнялась бы 30.

ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ

 Исходную головоломку решить невозможно, если не прибегнуть к мошенничеству, перевернув кубики с цифрами 6 и 9 вверх ногами. Одна из особенностей этой головоломки состоит в том, что любая подобная перестановка двух кубиков сразу же делает задачу разрешимой. Фактически любое нечетное число перестановок дает тот же самый эффект, тогда как любое их четное число оставляет, как и прежде, головоломку неразрешимой. Читателей, которых заинтересует математическая структура, лежащая в основе этой головоломки, мы отсылаем к классической работе W. W. Johnson, W. Е. Story. Notes on the 15-Pnzzle (American Journal of Mathematics, v. 2, 1879, p. 397), а также сборникам по занимательной математике.

Остальные три задачи решаются следующим образом.

Вторая задача. К расположению, указанному в условии, можно прийти за 44 хода: 14, 11, 12, 8, 7, 6, 10, 12, 8, 7, 4, 3, 6, 4, 7, 14, 11, 15, 13, 9, 12, 8, 4, 10, 8, 4, 14, 11, 15, 13, 9, 12, 4, 8, 5, 4, 8, 9, 13, 14, 10, 6, 2, 1.

Третья задача. К расположению, приведенному в условии, удается прийти за 39 ходов: 14, 15, 10, 6, 7, 11, 15, 10, 13, 9, 5, 1, 2, 3, 4, 8, 12, 15, 10, 13, 9, 5, 1, 2, 3, 4, 8, 12, 15, 14, 13, 9, 5, 1, 2, 3, 4, 8, 12.

Четвертая задача. Магический квадрат удается получить за 50 ходов: 12, 8, 4, 3, 2, 6, 10, 9, 13, 15, 14, 12, 8, 4, 7, 10, 9, 14, 12, 8, 4, 7, 10, 9, 6, 2, 3, 10, 9, 6, 5, 1, 2, 3, 6, 5, 3, 2, 1, 13, 14, 3, 2, 1, 13, 14, 3, 12, 15, 3.